Ultrafast Lasers是由瑞士苏黎世联邦理工学院的Ursula Keller教授于2021年出版的最新著作。Keller教授的研究方向为超快激光物理，这本书是她近30年研究与教学的总结。该书共有12章，全面介绍了超快激光基本原理以及各种激光技术和实际应用。上期介绍了第四章：非线性脉冲的传播。由于介质的非线性效应，脉冲在传播时会出现自相位调制、自聚焦、自陡峭、孤子等现象，同时也会导致脉冲放大与吸收的饱和效应。而本章以公式推导计算为主，介绍激光的速率方程、稳态解、弛豫振荡解及传递函数四方面的内容。

激光器包含三个基本要素：泵浦源、增益介质和谐振腔。谐振腔又可分为线性腔和环形腔两种，泵浦源多为二极管泵浦，增益介质可以是气体、固体、液体等，选择很多。泵浦和增益介质相结合，通过受激辐射放大入射光。利用另外一束作为泵浦的放大系统，按能级结构又可大体分为三能级系统和四能级系统两类（如图1）。

图1 三能级（上）及四能级（下）示意图

以理想四能级系统为例，n表示腔内的光子数，N表示反转粒子数，考虑泵浦及衰减作用时可以得到如式（1）、（2）所示速率方程［1］：

其中K是自发跃迁几率，Rp是泵浦速率，γc是腔内光子衰减速率，γL是反转粒子数衰减速率，KN项表示自发辐射，KNn项表示受激辐射。当激光系统达到稳定时，即dn／dt＝0，dN／dt＝0，将其带入上述速率方程求解可以得到腔内光子数n与反转粒子数N在稳态时随泵浦功率的变化。r表示泵浦功率与阈值泵浦功率的比值。如图2所示，泵浦功率在阈值前（r＜1），随着泵浦功率的增大，反转粒子数增多，但是此时腔内整体损耗还是大于增益，所以光子数不增加仍然为0。但是当泵浦大于阈值时（r＞1），反转粒子数达到了饱和不再增加，而此时腔内的增益大于损耗，光子数开始增加。

图2 反转粒子数（N）及腔内光子数（n）随泵浦功率（r）的变化

腔内的增益系数随泵浦功率变化如图3，泵浦功率低于阈值时（r＜1），增益系数等于小信号增益系数；泵浦功率高于阈值时（r＞1），增益达到饱增益系数变为恒定值，此时增益等于损耗。在这之后，即使继续加大泵浦功率，反转粒子数也会固定在一个恒定值，此时每个额外吸收的泵浦光子都转化为受激辐射，输出功率会随泵浦功率的增加而线性增加。

图3 增益系数（g）随泵浦功率（r）的变化

实际的激光系统内部参数并非严格不变的，腔内的光子数和反转的粒子数都是会在稳态附近有一个微小的波动。当我们用微小扰动模型带入激光的速率方程时，根据腔内增益介质上能级寿命的不同得到两种不同的结果。一种是会回到稳定状态，如经过扰动后He－Ne激光器将在大约100ns内回到稳定状态。但在固体激光器内，扰动可能导致光强在时域上出现周期性波动的现象，称为弛豫振荡，如图4所示。利用弛豫振荡现象我们可以间接测量激光的小信号增益系数。

图4 时域和频域的强度波动

对泵浦功率进行小的变频调制，并监测相应的激光器平均输出功率的调制，这样可以获得泵浦和输出之间的、依赖于调整频率的传递函数。由这个函数可以确定弛豫振荡的特征频率和阻尼系数。图5是对连续激光器和锁模激光器的传递函数的幅值与幅角的测量（（a）－（d）），进而通过拟合求得弛豫振荡的频率（（e）、（g））和其余参数。通过该方式可以精确求得激光弛豫振荡的相关参数。

图5 传递函数测量实例

本章主要讲述了激光的速率方程、稳态解、弛豫振荡解、传递函数。在稳态条件下对速率方程求解得到了稳态解以及增益的相关信息；在扰动条件下求解则可得到弛豫振荡解，最后介绍了传递函数，利用传递函数的幅值与幅角的测量可以得到弛豫振荡的相关参数。

       原文标题 : 光学经典导读之五 Ultrafast Lasers 第五章 速率方程、稳态解、弛豫振荡和传递函数