在脉冲传播的数值模拟中,需要以某种方式用数值表示脉冲。在脉冲相对较长的情况下(比如纳秒脉冲持续时间较长)。假设您只对功率感兴趣,那么通常只考虑光功率与时间的关系就足够了。光学相位可能会受到光功率的影响,例如通过自相位调制,但通常没有相位对功率的实质性反作用。
对于超短脉冲(即脉冲持续时间为皮秒甚至飞秒的脉冲),情况则截然不同,因为光相位随时间的变化对光功率的演化有重大影响。例如,与脉冲有限的光带宽有关的光学相位的快速变化,会影响所涉及的群速度,可能还会影响有源光纤中增益的大小。(高阶孤子脉冲的复杂演化就是一个例子。)因此,描述具有随时间变化的复振幅的超短脉冲是很自然的,其中光功率与复振幅的模量的平方成正比,光学相位也包含在复振幅中。

慢变振幅

人们可能会认为,定性地说,描述一个声音信号的情况完全一样。只是我们在光学中有更高的频率。然而,还有另一个非常重要的区别:在大多数情况下,光信号的带宽比平均频率小得多。因此,在解析或数值计算中,直接使用表示快速振荡电场的复振幅往往是不明智的。相反,我们使用缓慢变化的振幅与快速振荡的一个因子相结合,如下:

图中ν0是光中心频率

对于一个毫微秒的脉冲,例如,振幅A(t) 可能是纯粹的真实描述光功率的上升和下降的时间尺度多个皮秒,而指数因子描述了快速光学振荡,振荡周期(1 /?ν0)只有几个飞秒。
在数字上,我们通常使用一个离散的网格,它跨越一定的时间范围,网格点有一定的时间间隔。我们称它为脉冲的时间跟踪。通常,它的点数(称为N)是2的整数次方(例如28 or 210),因为这极大地简化了快速傅里叶变换算法的应用(见下文)。
显然,上面解释的技巧对缓慢变化的振幅有很大的帮助:网格间距可以经常比光振荡周期长得多。例如,如果光功率和相位在1 ps内没有太大的变化,1 ps的栅极间距可以完全满足10 ps脉冲(对于电场本身的采样,你需要低于1 fs的栅极分辨率!)但是,请记住,一个具有快速光学相位演化的强啁啾脉冲,可能需要一个实质上更精细的数字网格。

如果不使用缓慢变化的振幅,我们将需要更多的内存和计算时间。

傅里叶空间脉冲

对于许多计算和模拟,使用傅里叶变换是非常方便的。例如,色散最容易在频域描述;因此,通常适用于第一个傅里叶变换获得脉冲的光谱频率跟踪的形式与离散复振幅(再一次),然后把每一个振幅与相应的相位因子,最后使用一个傅里叶反变换回到时域(如果需要)。同样,在频域应用波长相关的吸收损耗或放大也很方便,而非线性效应通常在时域处理更方便。
在时域和频域数值网格之间存在着一些重要的关系:

·频率迹的总宽度Δν 是时间步长的倒数。例如,1-ps的时间分辨率导致1-THz的频率跨度。这足以描述一个带宽为0．1THz的脉冲。
·频率域的分辨率δν (即频域振幅的频率间距)为频率跨度除以点数N -或时间轨迹的反宽度:

·由此还可以看出,轨迹上的点数是时域和频域上轨迹宽度的乘积:N?=?Δt?×?Δν。因此,时间带宽积大的脉冲需要大量的点。

作为一个例子,我们来展示下我们的软件RP Fiber Power的交互式脉冲显示窗口的截图:

上图显示的是时域的脉冲,下图显示的是频域的脉冲。RP Fiber Power软件可以自动显示范围,有显著的能量,但您也可以手动控制显示的时间和频率跨度。屏幕截图显示的是时间-主功率和光谱,但也可以显示其他的东西,如与时间相关的光学相位、光谱相位、瞬时频率和各种其他东西。在底部您会看到一个滑块,你可以用它从一组存储的脉冲中选择脉冲,或者根据它在光纤中的位置来选择。显然,当检测有时相当复杂的脉冲演变时,如在光纤放大器和锁模光纤激光器中,有RP Fiber Power这样一个方便的工具是非常可取的。

选择数值网格参数的一些经验法则

您可以通过一些简单的规则轻松地找到合理的数值参数。对于数值模拟,我们需要决定数值网格的参数——例如,时间轨迹的宽度Δt和点数N。如上所示,这些参数也决定频域网格。

下面的规则通常会给您提供一个好的起点:

·时间痕迹当然应该足够长,以确保没有显著的光能到达痕迹的末端。不仅是对于我们可以通过光纤发送的初始脉冲,而且在整个传播过程中。例如,如果您有一个初始的1 ps脉冲,并且期望它的持续时间在整个传播期间不会超过2 ps,那么您可以尝试使用20 ps长的时间跟踪。
·如果脉冲相当接近变压器限制,通常只用28点就足够了。在我们的例子中,这意味着时间分辨率为20ps / 256 = 78 fs,频率跨度为1 / 78 fs = 12．8 THz。频率分辨率为12．8 THz / 256或1 / 20ps = 50GHz。变换限制高斯2-ps脉冲的带宽为220 GHz;您看,我们可以合理地解析并覆盖脉冲频谱。(在时域或频域中,在全宽范围内有几个点达到一半最大值通常就足够了。)
·对于相同持续时间的强啁啾脉冲,您可以使用相同的时间范围结合增加的点数,即更精细的时间分辨率。时域的一个标准是,相位的变化不应超过每时间步几百毫弧度。在频域,您要确保边缘没有显著的能量。
·如果您想包括受激拉曼散射,你需要有足够宽的频率跨度,这样Stokes波仍然在这个范围内。考虑到硅的拉曼增益峰值在13ghz左右的频率偏移,如果输入信号在频率范围的中间,通常需要一个40ghz的总体频率范围。但是,您可以将输入信号置于频率跨度的“左边”,这样您就可以使用一个稍微小一些的跨度。

您不能总是在一开始就确定某些数值设置将足以获得输出的良好精度。但是,您可以尝试检查在模拟过程中是否违反了上述准则。如果用我们的RP Fiber Power软件,您甚至可以自动检查,这样就可以在有问题的时候得到警告。软件甚至可以自动发现频率跨度太窄时,点数翻倍。在有疑问的情况下,您也可以运行一个额外的模拟与更高的数值分辨率,并检查结果是否有显著的变化。

我如何知道我的数字精度是否足够高?

当您在光纤中模拟超连续谱产生时,您会得到非常大的时间和频率痕迹——特别是在使用相对较长的脉冲时。在某些情况下,您需要220(大约100万)个点。例如,将100-THz的频率跨度与10 ns的时间跨度结合起来。如果每个复振幅用2乘以8字节(双精度)表示,那么每次时间或频率跟踪需要16megabytes。假设您通过光纤模拟传播,并希望存储沿光纤的100个点的时间和频域信息,这将总共消耗100倍32 MB或大约3 GB。所以您会想要一台有相当多的gigabytes和64位软件的电脑。顺便说一下,如果您是我们RP Fiber Power软的的用户,您默认得到的是32位版本,如果您想得到64位版本,欢迎点击“阅读原文”但联系我们。

超连续谱产生的数值模拟可以是苛刻的。

比跟踪大小的比例要多一些。但是,幸运的是,大多数实际情况都可以在相当有限的计算时间内模拟出来。您将花费大部分时间设置模拟并考虑其结果,而不是等待计算结果。

绕包效应

当脉冲在时间或频率轨迹的边缘获得大量能量时,会产生有趣的数值效应。这种能量不会简单地消失,而是在另一边又回来了。为了理解这一点,可以想象时间轨迹,例如,展示了一个周期性进化信号的样本:我们只有一个离散的频率域振幅网格,和傅立叶变换导致周期时间信号。因此,在时间追踪的一端“走出”的东西,可以被认为只是进入了下一个样本。
这种效应通常是不受欢迎的,但也有一些合理的方法来处理它:

· 只要使用足够大的时间和频率轨迹,您就永远不会在边缘获得大量的能量。但是,在某些情况下,这可能需要相对较大的跟踪,并相应地增加了计算时间。
· 如果您想对跟踪的大小有更多控制,也可以在边缘添加一个人工衰减。这样你就不能更真实地描述边缘处发生了什么,但至少可以避免那些伪影。

在模拟锁模激光器时,您需要特别小心避免任何绕包效应,因为它们也可能会影响脉冲的稳定性。但这通常不是问题,因为循环脉冲在大多数情况下没有那么强的啁啾,因此需要有限的点数,通常28个就足够了,实际上需要超过210个。